Matemáticas elementales/Clasificación de los números/Números Quebrados

Los números quebrados son aquellos números que se pueden representar generalmente como un número decimal o como una fracción
Fracciones:
Una fracción es una parte de la unidad. Cuando tenemos una unidad cualquiera, nos puede interesar una parte más pequeña para tomar. Así, si tenemos una tarta para ochos comensales, y estamos cuatro personas, lo normal seria que cada persona tomase dos trozos, expresados así:
\frac{8}{8} :  4 = \frac {8}{8} \cdot \frac{1}{4} = \frac {8 \cdot 1}{8 \cdot 4} = \frac {8}{32} = \frac {8:4}{32:4} = \frac {2}{8}

Lo que aquí se expresa es que cada persona cogería dos octavos de tarta, es decir, dos partes de las ocho que hay. Así, la parte de arriba (2) seria el numerador, y la parte de abajo (8), el denominador.

electro dald

electro dald ley Dos fracciones son equivalentes cuando una de ellas al dividir o multiplicar por un mismo número el númerador y el denominador, se obtiene la otra fracción. No obstante, para saber si dos fracciones son equivalentes, solo hace falta saber si los productos cruzados son iguales:
\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \longrightarrow a \cdot d = b \cdot c

Reducción de fracciones

A excepción de las fracciones irreducibles, una fracción puede simplificarse dividiendo ambos términos entre un mismo número:
\frac{12}{4} = \frac{12 : 2}{4 : 2} = \frac{6}{2}
NOTA: La fracción original y la reducida serán equivalentes.

[ Reducción a fracción irreducible

Hallando el Máximo común divisor (M.C.D.) de los dos términos y dividiendo ambos términos por él, se llega a una fracción irreducible.
Ejemplo:
Hallar la fracción irreducible de \frac{12}{4}:
M.C.D.(12,4) = 4; dividiendo:
\frac{12}{4} = \frac{12 : 4}{4 : 4} = \frac{3}{1}

Reducción a común denominador

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Expresión decimal de una fracción

Es posible expresar una fracción como número decimal dividiendo el numerador entre el denominador:
Ejemplos:
\frac{1}{2} = 1 : 2 = 0,5
\frac{2}{3} = 2 : 3 = 0,666...
En las fracciones con denominador 10, 100, 1000, 10000... se recorrerá el punto hacia la izquierda tantos lugares como 0's haya.

\frac{53}{1000} = 0.053
\frac{4}{10} = 0.4
\frac{4567}{100} = 45.67

Ordenación de los números racionales

Operaciones con fracciones

En las fracciones es posible realizar distintas operaciones, a continuación se muestra como pueden realizarse.

Suma de fracciones

Para sumar dos o más fracciones, nos podemos encontrar con varios casos.

Con el mismo denominador

Suma quebrados.png
Como se muestra, se suman los numeradores y se deja el mismo denominador:
\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6}

Con diferente denominador

Cuando tienen distinto denominador, se reduce a comun denominador por medio del minimo comun multiplo (m.c.m.) de los denominadores (no olvides convertir tambien el numerador de ambas fracciones ya que lo tengas), y resolverlas despues sumando los numeradores:

\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6} m.c.m (2,3) = 2 \cdot 3jfddjj = 6
6 : 3 = 2 \cdot 1 = 2
6 : 2 = 3 \cdot 1 = 3

Suma de un quebrado con un número natural

Cuando nos encontramos con la posibilidad de sumar un número entero con una fracción, lo podemos resolver mediante dos formas
Mediante m.c.m
Para resolver mediante m.c.m, procederemos así:
  • a) Transformarlo en fracción
Primero, transformamos la parte entera a una fracción con denominador 1.

3 + \frac{2}{5} = \frac{3}{1} + \frac{2}{5}
  • b) Realizar el m.c.m y resolverlo

m.c.m (1,5) = 1 \cdot 5 = 5 5 : 1 = 5 \cdot 3 = 15
5 : 5 = 1 \cdot 2 = 2
\frac{3}{1} + \frac{2}{5} = \frac{15}{5} + \frac{2}{5} = \frac{15+2}{5} = \frac{17}{5}

Directamente
Se multiplica el número por el denominador y se le suma al numerador:

3 + \frac{2}{5} = \frac{(3 \cdot 5) + 2}{5} = \frac{15+2}{5} = \frac{17}{5}

Multiplicación de fracciones

Para multiplicar dos fracciones, unicamente es multiplicar el numerador de la primera fracción con el numerador de la segunda fracción, y hacer lo mismo con los denominadores.

\frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 2}{6 \cdot 5} = \frac{6}{30}

Multiplicación de una fraccion con un número natural

Para multiplicar una fracción con un número se multiplica el número con el numerador, y el denominador por 1, ya que es un número es una fracción con denominador 1:

6 \cdot \frac{1}{3} = \frac{6}{1} \cdot \frac{1}{3} = \frac{6 \cdot 1}{1 \cdot 3} = \frac{6}{3} = 2

Multiplicación de dos fracciones

Para multiplicar dos fracciones, se multiplican los denominadores y los numeradores por los denominadores y los numeradores de las restantes fracciones

\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{6}{8} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 6}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{48}{840}

Multiplicación de fracciones inversas

Cuando dos fracciones inversas se multiplican, el resultado es la unidad.

\frac{3}{6} \cdot \frac{6}{3} = \frac{3 \cdot 6}{6 \cdot 3} = \frac{18}{18} = 1

Otras operaciones con fracciones

Potenciacion de fracciones

Hay que decir que una potencia es aquella multiplicación donde se multiplica la base por si misma tantas veces como lo indique el exponente. Por lo que es una multiplicación de fracciones.
\left ( \frac{1}{2} \right )^3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}

Radicalización de fracciones

La radicalización es el proceso inverso a la potenciación. Para radicalizar una fracción, se extrae la raiz enesíma al numerador y denominador.

\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}

\sqrt{\frac{16}{20}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{20}} = \frac{4}{\sqrt{20}}

Racionalización

En el caso anterior, comprobamos que el denominador tenia una raiz cuadrada en su denominador. Para evitar tal situacion, se debe multiplicar la fracción con su conjugada para hacer desaparecer la raiz en el denominador.

\frac{4 \cdot \sqrt{20}}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{20}}= \frac{4\sqrt{20}}{20} = \frac{\sqrt{20}}{5}
Existe el caso en el que el denominador tiene una suma de un número entero con un radical. Para racionalizar, la conjugada debe completar una diferencia de cuadrados.

\frac{3-\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}} = \frac{(3-\sqrt{2})(3-\sqrt{2})}{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})} = \frac{(3-\sqrt{2})^2}{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})} = \frac{9+2-6\sqrt{2}}{9-2} = \frac{11-6\sqrt{2}}{7}

Representación de fracciones en la recta real

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