Lógica de segundo orden

Lógica de segundo orden


Una lógica de segundo orden es una extensión de una lógica de primer orden en la que se añaden variables para propiedades y cuantificadores que operan sobre esas variables.[1] Así se expande el poder expresivo del lenguaje sin tener que agregar nuevos símbolos lógicos.[1] Por ejemplo, en una lógica de primer orden es posible decir "esta esmeralda es verde", pero no es posible decir "el verde es un color", porque una lógica de primer orden sirve para hablar acerca de individuos (como esta esmeralda), pero no acerca de propiedades (como verde). En cambio, una lógica de segundo orden no tiene esa limitación, y por lo tanto permite escribir:
Color(Verde) \,
Además, una lógica de segundo orden también puede cuantificar sobre propiedades. Gracias a eso puede expresar, por ejemplo, que todo individuo o tiene una propiedad o no la tiene:
\forall P \, \forall x \, (Px \or \neg Px)
O el principio de identidad de los indiscernibles:[2]
\forall P \, \forall x \, \forall y \, \Big( (Px \leftrightarrow Py) \to (x = y) \Big)
Sin embargo, lo que se gana en poder expresivo se pierde en metateoría. Existen propiedades metateóricas generalmente consideradas deseables que las lógicas de segundo orden no tienen y las lógicas de primer orden sí. Por ejemplo, las lógicas de segundo orden (con semánticas estándar) son incompletas.[3] Quiere decir que no puede haber ningún sistema deductivo finito a partir del cual se puedan demostrar todas las verdades lógicas expresables en el lenguaje.[3] Esto es: el conjunto de las verdades del sistema es mayor que el conjunto de las verdades demostrables en el sistema. Esto se debe a que las lógicas de segundo orden tienen el poder expresivo suficiente para ser afectadas por los teoremas de incompletitud de Gödel.

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