Estudios:Estadística y Probabilidad

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Problemas de Probabilidad.

  • 1. Sean A y B dos sucesos independientes. Demostrar que A y B son también independientes. Demostrar que AC y BC son también independientes.

  • 2. Sean A y B dos sucesos tales que P(A) = 0,4; P(B) = 0,5; P(A/B) = 0,1. Hallar la Probabilidad de A[B.
Solución
Se trata de un problema de probabilidad condicionada: P(A[B) = P(A) si ha sucedido B
Aplico la fórmula de la probabilidad condicionada para lo que debo conocer P(AyB), que se representa por P(A/B); y debo conocer también P(B):
P(A[B) = P(A/B): P(B) = 0,1 : 0,5 = 0,2

  • 3. Se extraen al azar cartas de una baraja española de 40 cartas con reemplazamiento. Hallar la probabilidad de que:
    • a) La primera carta sea de oros.
    • b) La segunda carta sea de oros si la primera fue de oros.
    • c) La segunda carta sea de oros si la primera no fue de oros.
    • d) La segunda carta sea de oros.
    • e) Las dos primeras cartas sean de oros.
    • f) Ninguna de las dos primeras cartas sean de oros.
    • g) Al menos una de las dos primeras cartas sea de oros.
    • h) La tercera carta sea de oros sabiendo que las dos primeras cartas fueron de oros.
    • i) La tercera carta sea de oros.
    • j) Las tres primeras cartas sean de oros.
    • k) Ninguna de las tres primeras cartas sean de oros.
    • l) Al menos una de las tres primeras cartas sea de oros
Soluciones:
    • 3.a) La baraja consta de 40 cartas, de ellas 10 son oros.
      • Como P = sucesos posibles/sucesos totales
      • P = 10/40 = 1/4 = 0,25
    • 3.b,c,d) Como existe reemplazamiento, la situación es la misma que la anterior.
      • P = 10/40 = 1/4 = 0,25
    • 3.e)
      • P = 10/40 * 10/40 = 100/1600 = 1/16
    • 3.f)
      • P = 30/40 * 30/40 = 900/1600 = 9/16
  • 4. Repetir el problema anterior considerando extracciones sin reemplazamiento.
Soluciones:
    • 4.a) La baraja consta de 40 cartas, de ellas 10 son oros.
      • Como P = sucesos posibles/sucesos totales
      • P = 10/40 = 1/4 = 0,25
    • 4.b)Como no hay reeemplazamiento, habrá 9 cartas de oros y 39 cartas en total:
      • P = 9/39 = 0,231
    • 4.c)Si la primera no fue de oros, habrá 10 cartas de oros y 39 cartas en total:
      • P = 10/39 = 0,256
  • 5. Se extraen dos cartas de una baraja. Hallar la probabilidad de que la segunda sea de oros sabiendo que la primera ha sido un Rey. Realizar el problema considerando extracciones con y sin reemplazamiento.

  • 6. En una empresa, el 60% de los empleados coge las vacaciones en agosto, el 30% en julio y el resto en otros meses. De los que cogen las vacaciones en agosto, el 90% va a la playa, de los que cogen las vacaciones en julio, el 70% va a la playa, mientras que de los que cogen las vacaciones en otros meses, solo el 20% va a la playa. Se pide:
    • a) Hallar la probabilidad de que un individuo vaya a la playa.
    • b) Hallar la probabilidad de que un individuo coja las vacaciones en julio y vaya a la playa.
    • c) Hallar la probabilidad de que un individuo que coja las vacaciones en julio vaya a la playa.
    • d) Hallar la probabilidad de que un individuo que fue a la playa cogiera las vacaciones en julio.

  • 7. Una enfermedad afecta a uno de cada 10000 individuos. Un laboratorio afirma que tiene una prueba para detectar la enfermedad que acierta en el 95% de los casos. Preguntados por lo que querían decir con esa afirmación indicaron que al pasar la prueba a pacientes enfermos, en el 95% de los casos dio positiva y al pasarla a pacientes sanos, en el 95% de los casos dio negativa. Un individuo se realiza la prueba y da positivo. Hallar la probabilidad de que esté realmente enfermo.
Solución
Debo hallar la probabilidad condicionada de que un sujeto esté enfermo si ha dado positivo:
Llamando E al sujeto enfermo y E' al sujeto sano; llamando L a la prueba positiva y L' a la prueba negativa, debo hallar P(E[L)= P(E/L):P(L)
Hay que considerar que:
La probabilidad de estar enfermo P(E)= 0,0001 y la de no estarlo es P(E')= 0,9999
La probabilidad de que la prueba sea positiva si está enfermo es P(L[E)= 0,95
La probabilidad de que la prueba sea positiva si se está sano es P(L[E')= 0,05
Entonces la probabilidad de que un individuo dé positivo (L) es:
P(L)= P(E)*P(L[E) + P(E')*P(L[E´)= 0,0001*0,95 + 0,9999*0,05 = 0,05009
También sé que P(L[E)= P(E/L):P(E) y por lo tanto P(E/L)= P(E)*P(L[E)= 0,0001*0,95= 0,000095
Por lo tanto P(E[L)= P(E/L):P(L)= 0,000095:0,05009= 0,001896 (aprox. 2 por mil)

  • 8. Se tienen tres cofres conteniendo monedas. En el primer cofre hay dos monedas de oro, en el segundo hay una moneda de oro y otra de plata y en el tercero hay dos monedas de plata. Se elige un cofre al azar y se extrae una moneda que resulta ser de oro. Hallar la probabilidad de que la segunda moneda extraída de ese cofre sea de plata.

  • 9. En un concurso de televisión el concursante ha llegado a la prueba final, y tiene que elegir entre tres cajas. En una de ellas hay un coche y en las otras dos hay una zanahoria. El concursante elige una caja. A continuación el presentador abre una de las otras dos, y en su interior hay una zanahoria. Tras la publicidad, el presentador da a elegir al concursante entre quedarse con su caja o cambiar a la otra. ¿Qué debe hacer el concursante? El problema debe realizarse en los dos supuestos siguientes:
    • a) El presentador no sabe dónde está el coche.
    • b) El presentador si sabe dónde está el coche, y no va a abrir la caja que lo contenga hasta el final del programa.

  • 10. Se tienen tres bolsas con bolas de colores. La primera tiene dos bolas blancas y una roja, la segunda dos blancas y dos rojas y la tercera dos blancas y tres rojas. Se elige una bolsa al azar y se extrae una bola:
    • a) Hallar la probabilidad de que sea blanca.
    • b) Si la bola extraída ha sido blanca, hallar la probabilidad de que se haya elegido la primera bolsa.
    • c) Si la bola extraída ha sido blanca, hallar la probabilidad de que la segunda bola sacada de esa bolsa sea también blanca.

  • 11. Se realiza el experimento aleatorio de lanzar un dado cúbico con las caras numeradas del 1 al 6. Hallar la media y la varianza de dicha variable aleatoria.
Solución:
media= 1+2+3+4+5+6/6= 21/6= 3,5
varianza= (1-3,5)2 + (2-3,5)2 + (3-3,5)2 + (4-3,5)2 + (5-3,5)2 + (6-3,5)2/6= 2,916

  • 12. Hallar la probabilidad de que haya que lanzar un dado 10 veces antes de que aparezca el primer 5.

  • 13. Se eligen dos números al azar en el intervalo (0, 1). Hallar la probabilidad de que la suma sea menor que un 1/2. Hallar la probabilidad de que la suma sea igual a 1/2.

  • 14. Se eligen dos números al azar en el intervalo (0, 1). Hallar la probabilidad de que el producto sea menor que un 1/2. Hallar la probabilidad de que el producto sea igual a 1/2.

  • 15. Dos amigos se citan en un lugar entre las 8 y las 9 con la siguiente condición: cada uno de ellos llegará y si no está el otro lo esperará 15 minutos. Hallar la probabilidad de que se encuentren.

  • 16. Se eligen dos números al azar r y s, en el intervalo (0, 1). Hallar la probabilidad de que la ecuación x2 + rx + s tenga las dos raíces reales. Hallar la probabilidad de que las dos raíces coincidan.

  • 17. Se eligen un número al azar en el intervalo (0, 1) y se le suma el resultado de lanzar un dado. Se pide:
    • a) Hallar la probabilidad de que dicha suma sea menor que 3,4.
    • b) Si la suma es menor que 3,4, hallar la probabilidad de que en el dado se hubiera obtenido un 3.

  • 18. Se lanza una moneda 6 veces. Hallar la probabilidad de obtener 3 caras.

  • 19. Se extraen 8 cartas de una baraja española. Hallar la probabilidad de que no haya ninguna carta de copas. Hallar la probabilidad de que haya dos cartas de copas.

  • 20. En una reunión hay 25 personas. Hallar la probabilidad de que no coincida el cumpleaños de ninguna de ellas. Repetir el problema para n personas. Determinar el valor de n a partir del cual la probabilidad de que haya coincidencia sea mayor de 1/2.

  • 21. Se elige un número al azar en el intervalo (0, 1). Hallar la probabilidad de su cuadrado sea menor que 1/4.

Investigación

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  • Aprendizaje de la Estadística. Saludos, me gustaría saber si hay alguien interesado en investigar en el Aprendizaje de la Estadística a través de medios Tecnológicos: Entornos Virtuales. Mi nombre José Vicente Novegil y forma de contactar vnovegil(arroba)yahoo.es. Saludos.

  • Estadística Bayesiana. Soy Licenciado en estadística, en estos momentos estoy realizando mi tesis sobre confiabilidad de sistemas. Mi nombre Sebastián Román si alguien quiere contactarme mí e-mail es sebastian.roman.h@gmail.com. Saludos.

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