Escuela preuniversitaria - matematica

Principales conjuntos numéricos

Aquí se listan los principales conjuntos de números. Su conocimiento es indispensable para un dominio básico del Álgebra y el Cálculo.
    \mathbb{C} \mbox{    Complejos}
    \begin{cases} 
        \mathbb{R} & \mbox{Reales}
        \begin{cases}
            \mathbb{Q} & \mbox{Racionales}
                \begin{cases}
                    \mathbb{Z} & \mbox{Enteros}
                    \begin{cases}
                        \mathbb{N} & \mbox{Naturales} \\
                         0         & \mbox{Cero} \\
                                   & \mbox{Enteros negativos}
                    \end{cases}\\
                                & \mbox{Fraccionarios}
                \end{cases}\\
                       & \mbox{Irracionales}
        \end{cases}\\
         & \mbox{Imaginarios}
    \end{cases}

Números Naturales

La necesidad de contar desembocó directamente en la creación y el uso de los números naturales. Son los números más simples de los que hacemos uso, se denotan por \mathbb{N} y están formados por los números 1,2,3,4,5... Se denominan también números enteros positivos.
\mathbb{N} = \{1,2,3,4,...\}

Números Enteros

La insuficiencia de los números naturales para contar deudas o temperaturas por debajo de cero lleva directamente a los números enteros. Se denotan por \mathbb{Z} y estan formados por los números naturales, sus inversos aditivos y el cero. El conjunto de los números enteros incluye a los naturales, \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}.
\mathbb{Z} = \{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...\} .

Números Racionales

La insuficiencia de los números enteros para denominar partes de unidad lleva directamente a los números racionales. Se denotan por \mathbb{Q} y son todos aquellos que se pueden expresar de la forma \frac{p}{q} donde p y q son enteros y q\neq 0. Estos pueden ser enteros (en el caso en que q = 1), decimales finitos o decimales infinitos periódicos. El conjunto de los números racionales incluye a los enteros, \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}.
\mathbb{Q} = \{x = \frac{p}{q}:p,q \in \mathbb{Z}, q\ne 0\}


Números Irracionales

La insuficiencia de los racionales al intentar encontrar la medida exacta de la diagonal de un triángulo rectángulo con catetos de longitud 1 lleva a los números irracionales. Se denotan por \mathbb{I} [1] y son el conjunto de los números decimales infinitos no periódicos, es decir todos aquellos que no se pueden expresarse de la forma \frac{p}{q}.

Números Reales

El conjunto de los números reales es la unión entre el conjunto de los números racionales y los irracionales:
\mathbb{R}= \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}.

Números Complejos

La insuficiencia de los números reales para denotar raíces de polinomios como x^2 + 1 \,\! lleva a la concepción de los números complejos. Se denotan por \mathbb{C}. Las raíces del polinomio anterior son \sqrt{-1} y -\sqrt{-1}, de manera que definimos el número i \,\! para poder trabajar con sus raíces solucionar este problema, de manera que: i = \sqrt{-1}. Todos los números complejos (también se les llama imaginarios) tienen la forma:
z = a + bi \,\! donde a \,\! y b \,\! son números reales. Denominamos a a \,\! parte real del complejo y a bi \,\! parte imaginaria.
Cuando b = 0 \,\!, z es un número real, y cuando a = 0 \,\!, z es un número imaginario puro.
De aquí deducimos que los números reales están incluídos dentro del conjunto de los complejos, o lo que es lo mismo:
\mathbb{N} \sub \mathbb{Z} \sub \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} = \mathbb{R} \sub \mathbb{C}

Estos números se suelen representar como vectores en un gráfico donde el eje x es la parte real del número y el eje y es la parte imaginaria. Como se pueden tratar como vectores, se pueden expresar principalmente de dos formas, en forma binómica y de forma polar.
Así podemos deducir que la suma de complejos cumple la regla del paralelogramo, es decir:
z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \,\!
El producto de complejos es:
En forma binómica:
 z  w = (a + bi)  (c + di) = ac + adi + cbi + bidi = (ac - bd) + (ad + cb)i \,\!
En forma polar:
r_\alpha s_\beta = (r s)_{\alpha + \beta} \,\!

El cociente de complejos es:
En forma binómica:
\frac{z}{w} = \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i
En forma polar:
\frac{r_\alpha}{s_\beta} = (r s)_{\alpha - \beta} \,\!
La raíz enésima de un complejo es:
En forma polar:
\sqrt[n]{r_\alpha} = (\sqrt[n]{r})_\frac{\alpha + 2\pi k}{n},  k = 0,1,2,3,...,n-1
Las raíces enésimas de un complejo son los vértices del polígono regular de n lados.

Fundamentos de trigonometría


  • Trigonometría: Según el DRAE [1], la trigonometría (del griego τριγωνομετρία) es "la parte de las matemáticas que trata del cálculo de los elementos de los triángulos planos y esféricos".

Medición de ángulos

a) Radián: unidad angular que ve desde el centro de una circunferencia una cuerda de longitud igual al radio.
La unidad se escribe 1 rad.
Una vuelta entera a la circunferencia son 2π rad.
Los radianes son la única unidad de medición de ángulos del Sistema Internacional de Unidades, aunque en los estudios preuniversitarios y en la vida cotidiana se usan mayoritariamente los grados sexagesimales.
b) Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 sectores radiales.
La unidad se escribe 1º.
Cada grado se divide en 60 minutos ( ' ) y cada minuto en 60 segundos ( " ), o lo que es lo mismo, 1º = 60' y 1' = 60".
c) Grado centesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 400 sectores radiales.
La unidad se escribe 1g.
Cada grado centesimal se divide en 100 minutos centesimales, y éste, a su vez, en 100 segundos centesimales.
Las relaciones entre las tres medidas son: 180º = 200 g = π rad
Se pueden establecer facilmente[2] las siguientes igualdades:
1 rad =57,295779513082320876798154814105º      ; 1 rad = 63,661977236758134307553505349006 g
1º = 0,017453292519943295769236907684886 rad   ; 1º = 1,1111111111111111111111111111111 g
1 g = 0,015707963267948966192313216916398 rad  ; 1 g = 0,9º

Partes del triángulo rectángulo

Para un triángulo rectángulo definimos:
  • Hipotenusa: lado opuesto al ángulo de 90º. Es el lado más largo del triángulo rectángulo.
  • Catetos: los lados del triángulo rectángulo que forman el ángulo de 90º. Són más cortos que la hipotenusa.
Con respecto a un ángulo α (distinto del de 90º), definimos:
  • Cateto contiguo: cateto que forma el ángulo α con la hipotenusa.
  • Cateto opuesto: cateto que forma el ángulo complementario a α con la hipotenusa.

Razones trigonométricas

Ahora podemos establecer unas cuantas relaciones entre los catetos y la hipotenusa llamadas razones trigonométricas.

Seno, coseno y tangente

  • Seno de α: el seno de α se escribe "sen α" y se lee "seno de alfa" en los países de habla hispánica[3]. Se denomina "sinus" (del latín) y se escribe "sin α" en el resto del mundo siguiendo las pautas del Sistema Internacional de Unidades. En idioma vasco ocurre lo mismo, se denomina sinu y se escribe "sin α".
El seno es el cociente del cateto opuesto al ángulo entre la hipotenusa:
\sin\alpha = \frac{y}{h}
  • Coseno de α: el coseno de α se escribe "cos α" y se lee "coseno de alfa" en los países de habla hispánica[4]. Se escribe de igual modo pero se denomina "cosinus" (también del latín) en el resto del mundo siguiendo las pautas del Sistema Internacional de Unidades.
El coseno es el cociente del cateto contiguo al ángulo entre la hipotenusa:
\cos\alpha = \frac{x}{h}
  • Tangente de α: la tangente de α se escribe normalmente "tan α", pero se puede dar el caso donde sea denominada "tg α".
La tangente es el cociente del cateto opuesto entre el cateto contiguo. De la misma forma, deducimos que también es el cociente del seno entre el coseno de un ángulo.
\tan\alpha = \frac{y}{x}
\tan\alpha = \frac{\sin{\alpha}}{\cos\alpha}

Cosecante, secante y cotangente

  • La cosecante de α es la razón trigonométrica recíproca al seno (con el cociente invertido):
\operatorname{cosec}\alpha = \frac{h}{y} = \frac{1}{\operatorname{sen}\alpha}
  • La secante de α es la razón trigonométrica recíproca al coseno (con el cociente invertido):
\operatorname{sec} \alpha = \frac{h}{x} = \frac{1}{\operatorname{cos}\alpha}
  • La cotangente de α es la razón trigonométrica recíproca a la tangente (con el cociente invertido):
\operatorname{cotan}\alpha = \frac{x}{y} = \frac{1}{\operatorname{tan}\alpha}

Inversas

Las funciones inversas del seno, el coseno y la tangente nos permiten conocer el ángulo α a partir del cociente de los catetos y la hipotenusa:
  • El arcoseno (o arcsinus) es la función trigonométrica inversa del seno:
\arcsin\frac{y}{h} = \alpha
  • El arcocoseno (o arccosinus) es la función trigonométrica inversa del cosinus:
\operatorname{arccos} \frac{x}{h} = \alpha
  • El arcotangente es la función trigonométrica inversa de la tangente:
\arctan\frac{y}{x} = \alpha

Ecuaciones trigonométricas

A partir de las ya mencionadas razones trigonométricas, se deducen una serie de ecuaciones trigonométricas útiles para resolver problemas en que intervienen factores como el ángulo mitad, el ángulo doble, los signos de los cuadrantes, etc. A continuación, las fórmulas más comunes y su desarrollo:

Teoremas

  • Teorema de pitágoras que aplicado a la trigonometría toma el nombre de ecuación trigonométrica fundamental:

\sin^2\alpha\ + \cos^2\alpha = 1

  • Teorema del seno:

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}

  • Teorema del coseno:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\ \cos\gamma

Potencias

\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos2\alpha}{2}

\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos2\alpha}{2}

Suma y diferencia de ángulos

.
\sin(\alpha\pm\beta) = \sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta

\cos(\alpha\pm\beta) = \cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta

\tan(\alpha\pm\beta) = \frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}

Ángulo doble

.
\sin2\alpha = 2\sin\alpha\ \cos\alpha

\cos2\alpha = \cos^2\alpha\ - \sin^2\alpha

\tan2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}

Ángulo mitad

\sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}
  • Con signo + si \begin{matrix} \frac{\alpha}{2} \end{matrix} está en el I o en el II cuadrantes.
  • Con signo – si \begin{matrix} \frac{\alpha}{2} \end{matrix} está en el III o en el IV cuadrantes.

\cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}
  • Con signo + si \begin{matrix} \frac{\alpha}{2} \end{matrix} está en el I o en el IV cuadrantes.
  • Con signo – si \begin{matrix} \frac{\alpha}{2} \end{matrix} está en el II o en el III cuadrantes.

\tan\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}}
  • Con signo + si \begin{matrix} \frac{\alpha}{2} \end{matrix} está en el I o en el III cuadrantes.
  • Con signo – si \begin{matrix} \frac{\alpha}{2} \end{matrix} está en el II o en el IV cuadrantes.

Transformaciones de sumas de razones trigonométricas en productos

\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}

\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}

\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}

\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}

Transformaciones de productos de razones trigonométricas en sumas

\sin\alpha\ \sin\beta = \frac{1}{2}\bigg[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)\bigg]

\cos\alpha\ \cos\beta = \frac{1}{2}\bigg[\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)\bigg]

\sin\alpha\ \cos\beta = \frac{1}{2}\bigg[\sin(\alpha - \beta) + \sin(\alpha + \beta)\bigg]
Referencia
  1. ↑ DRAE: Diccionario de la Real Academia de la Lengua Española.
  2. ↑ Mediante reglas de tres (ecuaciones de primer grado con una incógnita).
  3. ↑ Excepto en Cataluña, donde se suele denominar sinus y escribir "sin α" por influencia directa del catalán, y éste, por adopción directa del latín.
  4. ↑ Excepto en Cataluña, donde se suele denominar cosinus por influencia directa del catalán, y éste, por adopción directa del latín. Se escribe igual que en castellano; "cos α". En euskera ocurre lo mismo, se denomina kosinu y se escribe al igual que al castellano.

No hay comentarios :

Publicar un comentario

DEJA TU COMENTARIOS CON TUS DUDAS Y SUGERENCIAS,ASI COMO TAMBIEN UN PEDIDO EN PARTICULAR.
TAMBIEN PUEDES TU CORREO ELECTRONICO PARA UNA RESPUESTA MAS RAPIDA.