Ecuaciones diferenciales ordinarias/Ecuaciones diferenciales de primer orden/Ecuaciones diferenciales exactas




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Recordemos que si z=f(x,y)\,, entonces el diferencial total de z se define como

dz={\partial z\over \partial x}\, dx+{\partial z\over\partial y}\, dy,

donde dx y dy son números cualesquiera llamados incremento en x e incremento en y respectivamente.

Ejemplo 1.6

Si z=2x\sin y-3x^2y^2\,, entonces

dz=(2\sin y-6xy^2)\, dx+(2x\cos y-6x^2y)\, dy.


Vemos pues que si z = f(x,y), entonces el diferencial total de z está definido por una expresión de la forma

P(x,y)\, dx+Q(x,y)\, dy. (1.15

Si bien el diferencial total de z = f(x,y) siempre viene definido por una expresión de la forma (1.15), el recíproco no es necesariamente cierto, es decir, una expresión diferencial de la forma (1.15) puede no ser el diferencial total de una función z de x e y.

Definición 1.7

Se dice que una expresión diferencial de la forma

P(x,y)\, dx+Q(x,y)\, dy

es exacta si y sólo si esta define el diferencial total de una función de x e y.

Por el ejemplo 1.6, sabemos que la expresión diferencial

dz=(2\sin y-6xy^2)\, dx+(2x\cos y-6x^2y)\, dy.

es exacta, pues esta define al diferencial total de la función dada por

z=2x\sin y-3x^2y^2.\,

Ahora bien, si igualamos a cero una expresión diferencial de la forma (1.15), resulta la ecuación diferencial (escrita en forma diferencial)

P(x,y)\, dx+Q(x,y)\, dy=0.

Se dice que esta ecuación diferencial es exacta si el miembro izquierdo de la ecuación es una expresión diferencial exacta. El teorema siguiente nos da las condiciones necesarias y suficientes bajo las cuales una ecuación diferencial es exacta.



Teorema 1.8

Una ecuación diferencial

P(x,y)\, dx+Q(x,y)\, dy=0.

es exacta si y sólo si

{\partial P\over\partial y}={\partial Q\over\partial x}, (1.16

donde las funciones definidas por P(x,y)\, y Q(x,y)\,, las derivadas parciales en (1.16) y las derivadas parciales \textstyle{\partial P\over\partial x} y \textstyle{\partial Q\over\partial y} existen y son continuas en una región simplemente conexa R.

Demostración: Probaremos primero la implicación. Si la ecuación diferencial

P(x,y)\, dx+Q(x,y)\, dy=0.

es exacta, entonces existe una función f tal que

{\partial\over\partial x}f(x,y)=P(x,y)\qquad\mbox{y}\qquad {\partial\over\partial y}f(x,y)=Q(x,y).

Por hipótesis, tenemos que \textstyle{\partial P\over\partial y}={\partial\over\partial y}\left({\partial\over\partial x}f(x,y)\right) y \textstyle{\partial Q\over\partial x}={\partial\over\partial x}\left({\partial\over\partial y}f(x,y)\right) existen y son continuas en una región R, de modo que, por el teorema de Clairaut-Schwarz,

{\partial\over\partial y}\left({\partial\over\partial x}f(x,y)\right)={\partial\over\partial x}\left({\partial\over\partial y}f(x,y)\right),

para todo (x,y)\in R, es decir,

{\partial P\over\partial y}={\partial Q\over\partial x}.

Probaremos ahora el recíproco. Supongamos que tenemos la ecuación diferencial \textstyle P(x,y)\, dx+Q(x,y)\, dy=0, donde P(x,y) y Q(x,y) y \textstyle {\partial P\over\partial y}={\partial Q\over\partial x} son continuas en una región R. Buscamos una función f que cumpla, en particular, la propiedad de que

{\partial\over\partial x}f(x,y)=P(x,y)\qquad\Rightarrow\qquad f(x,y)=\int_{x_0}^x P(x,y)\, dx+C(y).

La expresión R(y) constituye aquí el equivalente de la constante de integración, ya que está desaparece al tomar la derivada parcial con respecto a x.
La otra parte que debe cumplir la función f es que

{\partial\over\partial y}f(x,y)=Q(x,y),

de donde resulta que

\begin{matrix}
Q(x,y) & = & \displaystyle {\partial\over\partial y}\left(\int_{x_0}^x P(x,y)\, dx+C(y)\right)\\[6mm]
& = & \displaystyle {\partial\over\partial y}\int_{x_0}^x P(x,y)\, dx + C'(y)\\[6mm]
& = & \displaystyle \int_{x_0}^x {\partial\over\partial y}P(x,y)\, dx + C'(y).
\end{matrix}

La última igualdad es válida por que, por hipótesis, P(x,y) es continua. Puesto que \textstyle {\partial P\over\partial y}={\partial Q\over\partial x}, tenemos que

\begin{matrix}
\displaystyle \int_{x_0}^x {\partial\over\partial y}P(x,y)\, dx + C'(y) & = & \displaystyle \int_{x_0}^x {\partial\over\partial x}Q(x,y)\, dx + C'(y)\\[6mm]
& = & Q(x,y)-Q(x_0,y)+C'(y)
\end{matrix}

Así pues

Q(x,y)=Q(x,y)-Q(x_0,y)+C'(y)\qquad\Rightarrow\qquad C'(y)=Q(x_0,y),

luego

C(y)=\int_{y_0}^y Q(x_0,y)\, dy.

Tenemos entonces que la función buscada debe cumplir

f(x,y)=\int_{x_0}^x P(x,y)\, dx+\int_{y_0}^y Q(x_0,y)\, dy.

Para que tal función exista sólo debe exigirse que pueda llevarse a cabo la integración, lo cual sucede si P(x,y) y Q(x,y) están definidas en una región simplemente conexa R y si [x_0,y_0] \times [x,y]\subseteq R, siendo todo esto garantizado por la hipótesis del teorema.
\scriptstyle\blacksquare

Notemos que la prueba del teorema anterior nos da una forma de encontrar la solución de una ecuación diferencial exacta.

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