Álgebra/Teoría de grupos/Subgrupos normales

Subgrupos normales

Si G es un grupo y H es un subgrupo de G, no es cierto en general que aH = Ha, aunque claramente esto sí sucede cuando G es abeliano. En realidad existen subgrupos de un grupo G que cumplen esto mismo sin necesidad de que G sea abeliano. En esta sección vamos a caracterizar tales subgrupos.

Definición 1.29: Sea G un grupo y N un subgrupo de G. Se dice que N es normal en G si

~aN=Na


para todo a de G. Este hecho lo representaremos por N\trianglelefteq G.

Equivalentemente tenemos que N\trianglelefteq G si y sólo si

~aNa^{-1}=N.


Tenemos pues que si N\trianglelefteq G, entonces las relaciones de congruencia izquierda y derecha módulo N coinciden, luego cualquiera de ellas da lugar al mismo conjunto cociente (G / N). Vamos a probar ahora que este conjunto cociente puede ser dotado de una estructura de grupo.

Teorema 1.30: Sea G un grupo y N\trianglelefteq G. Entonces (G / N) es un grupo, llamado grupo cociente de G por N, con la operación de grupo dada por


~aNbN=abN.


Demostración: Para comenzar, debemos probar que la operación en (G / N) dada por aNbN = abN tiene sentido, es decir, que si a'\in aN y b'\in N, entonces abN = a'b'N. Esto es así, pues

(ab) − 1a'b' = b − 1a − 1a'b' = b − 1a − 1a'(bb − 1)b' = b − 1(a − 1a')b(b − 1b')


con a^{-1}a=n_1\in N y b^{-1}b\in N (pues a'\in aN y b'\in bN), así es que (ab) − 1a'b' = b − 1n1bn2, pero como N\trianglelefteq G, también b^{-1}n_1b=n_3\in N, luego (ab)^{-1}a'b'=n_3n_2\in N, y entonces ab\equiv a'b'\ (\mbox{mod}\ N), lo que prueba que abN = a'b'N. Hemos probado que la operación definida en (G / N) tiene sentido. Esta operación es asociativa. La identidad de (G / N) es N, y el inverso de todo aN de (G / N) es a − 1N. Con esto queda probado que (G / N) es un grupo.
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Si f:G\longrightarrow H es un homomorfismo de grupos, entonces \ker f\trianglelefteq G. En efecto, pues si n\in\ker f y a\in G, entonces

f(ana^{-1})=f(a)f(n)f(a^{-1})=f(a)1_Hf(a^{-1})=f(aa^{-1})=f(1_G)=1_H,\,\!


luego ana^{-1}\in\ker f, así que a(\ker f)a^{-1}\subseteq\ker f para todo a de G, luego podemos cambiar a por a − 1 y así tener que a^{-1}(\ker f)a\subseteq \ker f, luego para todo n de kerf se tiene

~n=a(a^{-1}na)a^{-1}\in a(\ker f)a^{-1},


lo que demuestra que ~a(\ker f)a^{-1}=\ker f, completando la prueba de que \ker f\trianglelefteq G.

Teorema 1.31: El núcleo de todo homomorfismo de grupos f es un subgrupo normal del dominio de f. Recíprocamente, todo subgrupo normal de un grupo G es el núcleo de cierto homomorfismo cuyo dominio es G.

Demostración: La primera parte del teorema ya ha sido probada. Si N es un subgrupo normal de G, la aplicación

\begin{array}{rcl}
\varphi:G  & \longrightarrow & (G/N)\\
a & \mapsto & aN
\end{array}


es claramente un epimorfismo, y es llamado proyección canónica. Puesto que a\in N si y sólo si aN=N\,\!, i.e. si y sólo si a\in\ker\varphi, tenemos que N=\ker\varphi\,\!.
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Sea G un grupo y S\subseteq G, y defínanse los conjuntos

aS=\{as\mid s\in S\}\qquad\mbox{y}\qquad Sa=\{sa\mid s\in S\}.


Llamaremos normalizador de S al conjunto

N_s=\{a\in G\mid aS=Sa\}


Este conjunto es en realidad un grupo, pues es fácil ver que si a,b\in N_s (i.e. si aS = Sa y bS = Sb) entonces también ab\in N_s, y que además 1\in N_s y a^{-1}\in N_s.
Si H es un subgrupo de G, entonces claramente H\trianglelefteq N_H. Más aún, NH es el mayor subgrupo de G en el cual H es normal. En otras palabras,

H\leq K\leq G\ \ \mbox{y}\ \ H\trianglelefteq K\qquad\mbox{implica}\qquad K\subseteq N_H.


Ahora bien, podemos definir un conjunto cuyas exigencias sean aún más fuertes que las que definen a un grupo normalizador. Para ser precisos, si G es un grupo podemos definir un subgrupo cuyos elementos sean aquellos que conmuten con todos los elementos de un subconjunto S de G. A este conjunto se le llama centralizador de S, y lo denotaremos por CS. Así pues,

C_S=\{a\in G\mid as=sa\ \ \mbox{para todo}\ \ s\in S\}.


Notar que
  1. C_H\subseteq N_H;
  2. C_G=G\,\! equivale a decir que G es abeliano.

Ahora vamos a enunciar un teorema que tiene consecuencias importantes.

Teorema 1.32 (Teorema fundamental de homomorfismos): Sea f:G\longrightarrow H un homomorfismo de grupos y N un subgrupo normal de G tal que N\in\ker f. Entonces existe un único homomorfismo \bar f:(G/N)\longrightarrow H tal que \bar f\circ\varphi=f, donde \varphi:G\longrightarrow (G/N) es la proyección canónica. Además:
(1) \bar f es un epimorfismo si y sólo si f\,\! lo es;
(2) \ker\bar f=(\ker f)/N
(3) \bar f es un monomorfismo si y sólo si \ker f=N\,\!

Demostración: Vamos a demostrar que el homomorfismo \bar f:(G/N)\longrightarrow H es la aplicación dada por

\bar f(aH)=f(a).


Primeramente observamos que esta aplicación está bien definida, pues si bN=aN\,\!, entonces a^{-1}b\in N, y como N\subseteq\ker f, también a^{-1}b\in\ker f, luego f(a) = f(b). Es fácil ver que \bar f es un homomorfismo, y puesto que está completamente determinada por f, es el único homomorfismo que cumple \bar f\circ\varphi=f. (1) es evidente. (2) \ker\bar f=\{aN\mid f(a)=1_H\}=\{aN\mid a\in\ker f\}=(\ker f)/N. \bar f es un monomorfismo si y sólo si \ker\bar f=(\ker f)/N es el subgrupo trivial de (G / N), es decir, si y sólo si kerf = N.
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El teorema fundamntal de homomorfismos puede enunciarse también de la manera así: si f:G\longrightarrow H es un homomorfismo de grupos y N un subgrupo normal de G tal que N\in\ker f, entonces existe un único homomorfismo \bar f:(G/N)\longrightarrow H que da lugar al diagrama conmutativo siguiente:
Teo Fund Homo Diag.svg

Teorema 1.33 (Primer teorema de isomorfía): Si f:G\longrightarrow H es un homomorfismo de grupos, entonces (G/\ker f)\cong\mbox{Im}\ f.

Demostración: El teorema anterior nos da un homomorfismo \bar f entre (G / kerf) y H, que se convierte en epimorfismo si en lugar de H tomamos simplemente \mbox{Im} f\subseteq H, pero por (3) del teorema anterior \bar f es también un monomorfismo, luego termina siendo un isomorfismo.
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Teorema 1.34 (Segundo teorema de isomorfía): Si N es un subgrupo normal de un grupo G y H es un subgrupo cualquiera de G, entonces H\cap N es normal en H y H/H\cap N\cong (NH/N).

Demostración: La aplicación
\begin{array}{rcl}
f:H & \longrightarrow & (NH/N)\\
h & \mapsto & Nh
\end{array}

es un epimorfismo, y como \ker f=\{h\in H\mid Nh=N\}=\{h\in H\mid h\in N\}=H\cap N, el primer teorema de isomorfía nos da un isomorfismo \bar f:H/H\cap N\longrightarrow (NH/N).
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Teorema 1.34 (Tercer teorema de isomorfía): Si N y H son dos subgrupos normales en un grupo G, con N\leq H, entonces (G/H)\cong (G/N)/(H/N).

Demostración: Sea \varphi: G\longrightarrow (G/H) la proyección canónica. Tal aplicación es un epimorfismo de grupos, y por el teorema 1.31, \ker\varphi=H, luego N\leq\ker\varphi, así es que, de acuerdo con el teorema 1.32, existe un epimorfismo \bar\varphi:(G/N)\longrightarrow (G/H), pero aN\in\ker\bar\varphi si y sólo si aN=H\,\!, lo cual sucede si y sólo si a\in H, luego \ker\bar\varphi=(H/N), así es que, por el primer teorema de isomorfía, existe un isomorfismo entre (G / N) / (H / N) y (G / H).

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