Álgebra/Teoría de grupos/Subgrupos

Subgrupos

Definición 1.14: Sea G un grupo. Se dice que H es un subgrupo de G, hecho que se representa por H\leq G, si H\subseteq G y si H es él mismo un grupo respecto de la operación de G.

Es claro que la identidad de H es la misma que la identidad de G, pues éste es el único elemento a de G que cumple aa = a. También los inversos de los elementos de H son los mismos en H que en G.

Todo grupo G tiene al menos dos subgrupos, a saber, G mismo y el grupo {1}, llamado subgrupo trivial de G, que sólo contiene a la identidad de G. Cualquier otro subgrupo de G disitinto de G y {1} se dice subgupo propio de G.

Teorema 1.15: Sea G un grupo y H\subseteq G con H no vacío. Entonces H\leq G si y sólo si gh^{-1}\in H para cualesquiera g y h de H.
Demostración: La implicación es obvia. Si H es un subconjunto no vacío de G tal que gh^{-1}\in H para todo g,h\in H, entonces, en particular, 1=gg^{-1}\in H (el elemento g existe, pues H es no vacío). Luego también 1g^{-1}=g^{-1}\in H. Además, puesto que g(h^{-1})^{-1}=gh\in G, la operación binaria de G es también operación binaria en H, lo que demuestra que H es un subgrupo de G.
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Si f:G\longrightarrow H es un homomorfismo de grupos entonces kerf es un subgrupo de G. En efecto, pues si a,b\in\ker f, entonces

f(ab^{-1})=f(a)f(b)^{-1}=1_H\cdot1_H^{-1}=1_H,


por lo que ab^{-1}\in\ker f, lo que, en vista del teorema anterior, demuestra que \ker f\leq G.

He aquí otros dos hechos, aún más básicos, a cerca de subgrupos:
  1. Si K\leq H y H\leq G, entonces K\leq G.
  2. Si H,K\leq G y K\subseteq H, entoces K\leq H.
Las pruebas de estos hechos se dejan como ejercicio al lector.
Un subgrupo propio M de un grupo G se dice subgrupo maximal de G si M\leq H\leq G implica H = G o H = M para cualquiera que sea el conjunto H.

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