Álgebra/Teoría de grupos/Homomorfismos

Homomorfismos

Definición 1.10: Sean G y H dos grupos. Una aplicación f:G\longrightarrow H se llama homomorfismo de grupos (o simplemente homomorfismo) si

~f(ab)=f(a)f(b)

para todo a de G.

Es claro que si f:G\longrightarrow H y g:H\longrightarrow K son homomorfismos entonces g\circ f:G\longrightarrow K es un homomorfismo.

Teorema 1.11: Sean G y H dos grupos y f:G\longrightarrow H un homomorfismo. Se cumple que
  1. si 1G y 1H son las identidades de G y H, respectivamente, entonces f(1G) = 1H;
  2. si a\in G entonces f(a − 1) = f(a) − 1.

Demostración: En efecto, pues f(1_G)=f(1_G\cdot 1_G)=f(1_G)f(1_G), lo que implica f(1G) = 1H. Además, f(a − 1)f(a) = f(a − 1a) = f(1G) = 1H, luego f(a − 1) = f(a) − 1.
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Se dice que un homomorfismo es un monomorfismo, un epimorfismo o un isomorfismo si es, respectivamente, inyectivo, sobreyectivo o biyectivo. Un homomorfismo de un grupo G en sí mismo se dice un endomorfismo, mientras que un isomorfismo de un grupo G en sí mismo se dice un automorfismo.
Dos grupos G y H se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos, hecho que representaremos por G\cong H. Dos grupos que son isomorfos son, desde el punto de vista algebraico, indistinguibles, pues lo que vale para G respecto de su operación de grupo vale también para H respecto de su operación de grupo, y viceversa. Así, aunque desde el punto de vista conjuntista G y H sean dos conjuntos diferentes, desde el punto de vista algebraico G y H son el mismo objeto.
Sea G un grupo. Denotaremos por \mbox{Aut}\ G al conjunto de todos los automorfismos del grupo G. Puede probarse que AutG es a su vez un grupo tomando como operación la composición de aplicaciones.

Definición 1.12: Sean G y H dos grupos y sea f un homomorfismo entre ellos. El núcleo de f se define como el conjunto

\ker f=\{a\in G\mid f(a)=1_H\},

donde 1H es la identidad de H.

Teorema 1.13: Sean G y H dos grupos cualesquiera. La aplicación f:G\longrightarrow H es monomorfismo si y sólo si es homomorfismo y ~\ker f=1.

Demostración: Si f:G\longrightarrow H es un monomorfismo, entonces sólo puede existir un elemento a de G tal que f(a) = 1H, y por el teorema 1.11, ese elemento es 1G, de modo que kerf = {1G}. Recíprocamente, si kerf = {1G} y f(a) = f(b), entonces 1H = f(a)f(b) − 1 = f(a)f(b − 1) = f(ab − 1), lo que implica ab^{-1}\in\ker f, luego ab − 1 = 1G y así a = b, por lo que f es inyectiva y con ello un monomorfismo.
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El teorema anterior resulta útil para probar que dos grupos son isomorfos, ya que para esto basta con mostrar que existe un epimorfismo f entre ellos cuyo núcleo es trivial (en cuyo caso f es también un monomorfismo y por tanto un isomorfismo).

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