Álgebra/Teoría de grupos/Grupos

Álgebra/Teoría de grupos/Grupos


Semigrupos, monoides y grupos

Definición 1.1: Sea S un conjunto. Una aplicación

*:S\times S\longrightarrow S


se dice una operación binaria (o ley de composición interna) en S. La imagen de cualquier par (a,b) bajo la operación * se representa por a * b, en lugar de * ((a,b)) o de * (a,b). Cuando el símbolo que representa la operación es \cdot, entonces la imagen de (a,b) bajo la operación \cdot suele representarse también por ab.
Una operación binaria * sobre un conjunto S se dice asociativa si

(a * b) * c = a * (b * c)

para cualesquiera a,b y c de S. Cuando para cualesquiera a,b de S se cumple a * b = b * a, se dice que la operación * es conmutativa. Por lo regular usaremos el símbolo + para representar operaciones que sean conmutativas. En general, cuando hagamos uso de los símbolos \cdot o + para representar operaciones diremos que nuestra notación es, respectivamente, multiplicativa o aditiva.

Definición 1.2: Sea G un conjunto y \cdot una operación binaria en G. Se dice que el par (G,\cdot) es un semigrupo si la operación \cdot es asociativa. Si, además, existe un elemento e\in G tal que

ae = ea = a,

entonces el par (G,\cdot) se llama un monoide.
En lo sucesivo, cuando no haya lugar a confusión, nos referiremos a un monoide (G,\cdot) simplemente como el monoide G, haciendo mención sólo del conjunto y dejando que la operación se deduzca del contexto.
El elemento e aludido en la definición anterior se dice identidad o elemento neutro del monoide G, y es único, pues si e' fuera otro elemento de G con las mismas propiedades, entonces e = ee' = e'. Para representar identidades usaremos el símbolo 1 en notación multiplicativa y el símbolo 0 en notación aditiva.
Representaremos por | G | al cardinal de un monoide G. Si a es el elemento de un monoide G y n\in\Z es un entero positivo, definimos

a^n=a\cdots a\qquad (n\ \mbox{factores}),

Cuando nuestra notación sea aditiva escribiremos na en lugar de an.
Sea G un monoide y a_1\ldots a_n elementos de G con 1<n\in\Z. Se define inductivamente el producto de a_1\ldots a_n como

\prod_{i=1}^n a_i=a_1\cdots a_n=(a_1\cdots a_{n-1})a_n.

Definimos

\prod_{i=1}^0 a_i=1.

Con estas definiciones, se cumple el

Teorema 1.3 (Ley asociativa general): Sea G un monoide y a_1,\ldots, a_m, a_{m+1},\ldots, a_{m+n} elementos de G. Entonces

 
\prod_{i=1}^m a_i\cdot\prod_{j=1}^n a_{j+m}=\prod_{i=1}^{m+n}a_i.

Demostración: Por inducción sobre n. Para n = 0 es evidente. Supuesto cierto para n, vemos que
\prod_{i=1}^{m+n+1}a_i ~= \prod_{i=1}^{m+n}a_i\cdot a_{m+n+1}

~= \prod_{i=1}^m a_i\cdot\prod_{j=1}^n a_{j+m}\cdot a_{m+n+1}

~= \prod_{i=1}^m a_i\cdot\prod_{j=1}^{n+1} a_{j+m},



























lo que demuestra el teorema.
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Se dice que un monoide G es conmutativo si su operación es conmutativa.

Teorema 1.4 (Ley conmutativa general): Sea G un monoide conmutativo y a_1\ldots a_n elementos de G. Sea \varphi una aplicación del conjunto \{1,\ldots,n\} sobre sí mismo. Entonces

\prod_{i=1}^n a_{\phi(i)}=\prod_{i=1}^n a_i


Demostración: Por inducción sobre n. Para n = 1 es evidente. Supóngase cierto para n - 1. Sea k el entero tal que \varphi(k)=n. Entonces,
\prod_{i=1}^n a_{\phi(i)} ~= \prod_{i=1}^{k-1}a_{\phi(i)}\cdot a_{\phi(k)}\cdot\prod_{i=1}^{n-k}a_{\phi(k+i)}

~= \prod_{i=1}^{k-1}a_{\phi(i)}\cdot\prod_{i=1}^{n-k}a_{\phi(k+i)}\cdot a_{\phi(k)}

~= \prod_{i=1}^{k-1}a_{\phi(i)}\cdot\prod_{i=1}^{n-k}a_{\phi(k+i)}\cdot a_n.



























Con el propósito de aplicar el teorema 1.3, definimos la aplicación θ por
\theta(i)=\phi(i)\quad
\mbox{si}\ i<k,
\theta(i)=\phi(i+1)\quad
\mbox{si}\ i\geq k.
Así tenemos que
\prod_{i=1}^n a_{\phi(i)} ~=  \prod_{i=1}^{k-1}a_{\theta(i)}\cdot\prod_{i=1}^{n-k}a_{\theta(k-1+i)}\cdot a_n

~= \prod_{i=1}^{n-1}a_{\theta(i)}\cdot a_n






























donde \prod_{i=1}^{n-1}a_{\theta(i)}=\prod_{i=1}^{n-1}a_i por hipótesis de inducción, y así

\prod_{i=1}^n a_{\phi(i)}=\prod_{i=1}^n a_i.


Definición 1.5: Sea G un monoide. Un elemento a de G se dice invertible por la izquierda (resp. invertible por la derecha) si existe un elemento b, llamado inverso izquierdo de a (resp. inverso derecho de a), tal que ba = 1 (resp. ab = 1). Se llama invertible a un elemento a que es invertible por ambos lados.
Si un elemento a de un monoide G es invertible, entonces su inverso izquierdo y su inverso derecho coinciden. En efecto, pues si b y c son, respectivamente, el inverso izquierdo y el inverso derecho de a, entonces b=b\cdot1=b(ac)=(ba)c=1\cdot c=c.
Definición 1.6: Se llama grupo a un monoide G cuando todos sus elementos son invertibles, es decir, cuando para todo a de G existe b de G tal que

ab = ba = 1.

El elemento b aludido en la definición anterior se llama inverso de a y es único, pues si b' es otro inverso de a, entonces b=b(ab')=(ba)b'~=~b'. En notación multiplicativa y notación aditiva el inverso de a se denota, respectivamente, por a − 1 y a.
Se define

a^{-n}=a^{-1}\cdots a^{-1}\qquad (n\ \mbox{factores}).

En notación aditiva se escribe na en lugar de a n.
Un grupo G en el que se verifica la propiedad conmutativa, es decir, en el que ab = ba para cualesquiera a y b de G, se dice grupo abeliano.

El teorema siguiente recoge algunos hechos básicos a cerca de los grupos.

Teorema 1.7: Sea G un grupo y a,b,c elementos de G. Se cumplen
(G-1) aa = a implica a = 1
(G-2) ab = ac implica b = c
(G-3) (a − 1) − 1 = a
(G-4) (ab) − 1 = b − 1a − 1
(G-5) (a_1\cdots a_n)^{-1}=a_n^{-1}\cdots a_1^{-1}

Demostración: (G-1) Si aa = a, entonces a = a(aa − 1) = (aa)a − 1 = aa − 1 = 1. (G-2) Si ab = ac, entonces al multiplicar ambos lados de la ecuación por a − 1 se obtiene b = c. (G-3) (a^{-1})^{-1}=(a^{-1})^{-1}(a^{-1}a)=((a^{-1})^{-1}a^{-1})a=1\cdot a=a. (G-4) (b^{-1}a^{-1})(ab)=b^{-1}(a^{-1}a)b=b^{-1}\cdot 1\cdot b=b^{-1}b=1, de modo que b − 1a − 1 es inverso de ab, pero éste es único, así es que ha de ser b − 1a − 1 = (ab) − 1. (G-5) se sigue de (G-4) usando por inducción matemática.
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Los dos teoremas siguientes muestran las condiciones que debe cumplir un semigrupo para ser un grupo.

Teorema 1.8: Un semigrupo G es un grupo si y sólo si
  1. existe una identidad por la izquierda 1 tal que para todo elemento a de G, 1a = a;
  2. todo elemento a de G tiene un inverso por la izquierda a − 1.

Demostración: La implicación es obvia. Por la otra parte, G cumple también con (G-1) del teorema 1.7 (pues por hipótesis todo elemento suyo es invertible), así que, de

(aa^{-1})(aa^{-1})=a(a^{-1}a)a^{-1}=a(1\cdot a^{-1})=aa^{-1},

se deduce que aa − 1 = 1, por lo que a − 1 es también inverso de a por la derecha. Además, a\cdot 1=a(a^{-1}a)=(aa^{-1})a=1\cdot a=a, por lo que 1 es también una identidad por la derecha en G, luego G es un grupo.
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Teorema 1.9: Un semigrupo G es un grupo si y sólo si para cualesquiera a y b de G las ecuaciones

ax=b\qquad\mbox{y}\qquad ya=b


tienen soluciones únicas en G.
Demostración: Si G es un grupo, entonces las soluciones de ax = b y ya = b en G son x = a − 1b y y = ba − 1. Recíprocamente, si G es un semigrupo en el que las ecuaciones ax = b y ya = b tienen soluciones únicas, entonces, tomando a = b, tenemos que existen e y e' tales que

ae=a\qquad\mbox{y}\qquad e'a=a,

y si g es un elemento cualquiera de G, entonces también existen r y s de G tales que

as=g\qquad\mbox{y}\qquad ta=g,


de modo que

ge = (ta)e = t(ae) = ta = g (1.1


y

e'g = e'(as) = (e'a)s = as = g. (1.2


Puesto que g es cualquier elemento de G, podemos tomar g = e' en (1.1) y g = e en (1.2), obteniendo e'e = e' y e'e = e, luego e = e' es la identidad de G. Ahora, si a' y a'' son las soluciones de ax = e y ya = e, entonces a' y a'' son, respectivamente, los inversos derecho e izquierdo de a, y como vimos, debe de ser a' = a''. Esto prueba que G es un grupo.

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