Álgebra/Teoría de grupos/Grupos generados y grupos cíclicos

Grupos generados y grupos cíclicos

Si H y K son dos subgrupos de un grupo G, es fácil ver que H\cap K es de nuevo un subgrupo de G. Más aún, si \{G_i\}_{i\in I} es una familia de subgrupos de G, entonces \bigcap_{i\in I}G_i es también un subgrupo de G.

Definición 1.16: Sea G un grupo y S\subseteq G. Se llama subgrupo generado por S a la intersección de todos los subgrupos de G que contienen a S, y se representa por \left\langle S\right\rangle. Es decir,

\left\langle S\right\rangle=\bigcap G_i,


donde Gi es cualquier grupo que contenga al conjunto S. Cuando S sea un conjunto finito, digamos \{a_1,\ldots a_n\}, escribiremos también \left\langle a_1,\ldots a_n\right\rangle en lugar de \left\langle S\right\rangle.
Equivalentemente, tenemos que \left\langle S\right\rangle se puede definir como el menor subgrupo de G que contiene a S.
En realidad, es posible saber explícitamente la forma que tienen los elementos de \left\langle S\right\rangle:

Teorema 1.17: Sea G un grupo y S\subseteq G. Defínase S^{-1}=\{a^{-1}\mid a\in S\}. Entonces \left\langle S\right\rangle es el grupo formado por todos los elementos que son el producto de un número finito de elementos de S o de S − 1. En otras palabras,

\left\langle S\right\rangle=\{a_1\cdots a_n\mid a_1,\ldots, a_n\in S\cup S^{-1}\}.


Demostración: Sea H=\{a_1\cdots a_n\mid a_1,\ldots, a_n\in S\cup S^{-1}\}. Sean a y b elementos de H, de modo que

a=a_1\cdots a_n\qquad\mbox{y}\qquad b=b_1\cdots b_n,


donde a_i\in S o a_i\in S^{-1} y b_i\in S o b_i\in S^{-1} para todo i\in\{1,\ldots, n\}. El hecho de que ab^{-1}\in H se sigue inmediatamente de (G-5) del teorema 1.7, así que H es un grupo que además, como es claro, contiene a S, de modo que \left\langle S\right\rangle\subseteq H, pero también es claro que H\subseteq\left\langle S\right\rangle (pues los elementos de S y sus inversos están en \left\langle S\right\rangle, luego cualquier producto entre ellos estará también en \left\langle S\right\rangle), por lo que termina siendo \left\langle S\right\rangle=H.
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El teorema siguiente es un caso particular del teorema anterior.

Teorema 1.18: Sea G un grupo finito y S\subseteq G. Entonces

\left\langle S\right\rangle=\{a_1\cdots a_n\mid a_1,\ldots, a_n\in S\}.


Demostración: Si G es finito, las potencias a1, a2, a^3,\ldots de cualquier a de G no pueden ser todas diferentes, por lo que deben existir enteros m > n tales que am = an, o sea que amn = 1 (donde mn > 0), de lo que se sigue amn − 1 = a − 1 (con m-n-1\geq 0). Esto significa que todo elemento a de S tiene su inverso en \{a_1\cdots a_n\mid a_1,\ldots, a_n\in S\}, pues éste puede expresarse como un producto de elementos de S.
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Como consecuencia inmediata del teorema 1.17 tenemos también que

Corolario 1.19: Sea G un grupo y g\in G. Entonces

\left\langle g\right\rangle=\{g^n\mid n\in\Z\}.

Definición 1.20: Si G es un grupo y a es un elemento de G tal que \left\langle a\right\rangle=G, i.e. si G es generado por un sólo elemento suyo a, se diceque G es un grupo cíclico. Más en general, si \left\langle a_1,\ldots, a_n\right\rangle=G con cada ai en G, se dice que G es un grupo finitamente generado.

Como un ejemplo de grupo cíclico, tenemos al grupo aditivo \Z generado por su unidad 1 (aunque también puede ser generado por − 1). Se trata de un grupo cíclico infinito, al igual que lo es el grupo aditivo

2\Z=\{2n\mid n\in\Z\}.


cuyo generador es 2. En general, n\Z=\{nk\mid n\in\Z\} forma un grupo cíclico infinito respecto de la adición, y cuyo generador es n. Es muy fácil notar que (n\Z,+) y (\Z,+) son isomorfos, siendo la aplicación f:n\Z\longrightarrow\Z, dada por

f(nk)=k\qquad\mbox{para todo}\ k\in\Z,


el isomorfismo entre ellos.
Otro ejemplo de grupo cíclico es el grupo aditivo \Z_n, cuyos elementos son las clases de equivalencia [1]\ldots [n] surgidas a partir de la relación de congruencia módulo n (\equiv\ (\mbox{mod}\ n)) sobre \Z. Se trata en este caso de un grupo cíclico finito de orden n.

Un ejemplo más de grupo cíclico: el grupo multiplicativo { − 1,1, − i,i}, generado por i=\sqrt{-1} (o también por i).

Grupos ciclicos 1.svg
Figura: ~i genera al grupo multiplicativo ~\{-1,1,i,-i\}

El lector puede verificar que, como un hecho más general, el grupo multiplicativo de las n raíces complejas de la unidad, 1, es un grupo cíclico.

A parte del corolario 1.19, hay otro hecho característico de los grupos cíclicos que nos va a interesar:

Teorema 1.21: Sea G un grupo y a un elemeno de G. Entonces, si \left|\left\langle a\right\rangle\right|=m, el grupo \left\langle a\right\rangle consiste de los elementos 1,a,a^2,\ldots,a^{m-1} y ar = as si y sólo si r\equiv s\ (\mbox{mod}\  m).

Demostración: Por el corolario 1.19, existe el menor entero n tal que an = 1. Vemos entonces que los elementos 1,a,a^2,\ldots, a^{n-1} son todos distintos, pues si ai = aj con i < j < n, entonces aji = 1 con 0 < ji < n, pero hemos supuesto que n es el menor entero que cumple an = 1. Luego vemos que an = 1, an + 1 = a, an + 2 = a2, etc., de modo que las potencias de a comienzan a repetirse a partir de an − 1 y así \left\langle a\right\rangle=\{1, a, a^2,\ldots, a^{n-1}\} con n=m=\left|\left\langle a\right\rangle\right|. Además se observa que a^{km+r}=a^{km}a^r=(a^m)^ka^r=1^k\cdot a^r=a^r para cualesquiera enteros k y r, de modo que ar = as si y sólo si r\equiv s\ (\mbox{mod}\ m).
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Por el teorema anterior, tenemos que si \left|\left\langle a\right\rangle\right|=m y an = 1, entonces m\mid n.

Otra consecuencia del corolario 1.19 es que todo grupo cíclico es abeliano. En efecto, pues dos elementos de un grupo \left\langle a\right\rangle son de la forma ar y as, y

a^r\cdot a^s=a^{r+s}=a^{s+r}=a^s\cdot a^r.


Uno de nuestros propósitos principales en nuestro estudio de la teoría de grupos es determinar explícitamente las características de los subgrupos de un grupo dado. Para un grupo cualquiera, esta tarea resulta bastante complicada, y no podremos confrontarla realmente hasta después de haber obtenido una buena cantidad de resultados a cerca de grupos. Sin embargo, cuando el grupo en cuestión es cíclico, esta tarea resulta mucho más sencilla.

Teorema 1.22: Todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.

Demostración: Sea G=\langle a\rangle un grupo cíclico. Si H\leq G, entonces existen dos posibilidades: que H sea trivial, en cuyo caso H=\langle 1\rangle, o que exista un entero positivo mínimo n tal que a^n\in H. En este último caso, claramente \langle a^n\rangle\subseteq H. Ahora bien, si h\in H, entonces h es de la forma am pues H es un subgrupo de G, y por el algoritmo de la división tenemos que am = anq + r = anqar, con q,r\in\Z y 0\leq r<n, o sea que

a^r=a^{-mq}a^n\in H,


por lo que sólo puede ser r = 0 ya que hemos supuesto que n es el menor entero positivo para el cual a^n\in H, así que todo elemento h de H es de la forma aqn, luego H\subseteq\langle a^n\rangle, y así concluimos que H=\langle a^n\rangle, lo que demuestra el teorema.
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Como caso particular, tenemos que todo subgrupo del grupo aditivo \Z es cíclico. Para ser exactos, todo subgrupo H de \Z es de la forma n\Z, donde, según el teorema anterior, n es el menor entero positivo de H.

Mostraremos ahora que, esencialmente, los únicos grupos cíclicos son el grupo aditivo (infinito) \Z y los grupos aditivos (finitos) de la forma \Z_n.

Teorema 1.23 (Teorema de clasificación de grupos cíclicos): Todo grupo cíclico infinito es isomorfo al grupo (\Z,+), y todo grupo cíclico finito de orden n es isomorfo al grupo (\Z_n,+).

Demostración: Sea G=\langle a\rangle un grupo cíclico. La aplicación \Z\longrightarrow G dada por

f(n) = an


es un epimorfismo de grupos (lo cual puede verificar el lector) por el teorema <<Teorema pendiente>>. Por lo tanto, existen las siguientes dos posibilidades:
  1. kerf = 0, en cuyo caso f es un isomorfismo por el teorema 1.13.
  2. kerf contiene un menor entero positivo n, y por el teorema 1.22, \ker f=n\Z, pues \ker f\leq\Z. En este caso, podemos definir una aplicación g:\Z_n\longrightarrow G dada por

g\left([n]\right)=a^n.


Esta aplicación está bien definida, pues ar = as si y sólo si ars = 1G (con 1G la unidad de G), es decir, si y sólo si r-s\in\ker f=n\Z, lo que equivale a que [r]=[s]\in\Z_n (pues n\mid (r-s)). Es claro que g es un epimorfismo de grupos. Pero g es además un monomorfismo de grupos, ya que g\left([a]\right)=1_G=a^0 si y sólo si ak = a0, lo que equivale a [a] = [0], luego kerf = [0]. Esto demuestra que g es un isomorfismo.
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Así pues, tenemos que un grupo cíclico es, o isomorfo a (\Z,+) (en cuyo caso el grupo en cuestión es infinito), o isomorfo a un grupo de la forma (\Z_n,+) (en cuyo caso el grupo en cuestión es finito y de orden n), luego hemos clasificado a todos los grupos cíclicos. En términos algebraicos, esto quiere decir que los únicos grupos cíclicos son (\Z,+) y (\Z_n,+), pues todos los demás grupos cíclicos son isomorfos a ellos, y en realidad no existe ninguna distinción algebraica entre dos grupos isomorfos.

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